以最优化思想引领数学教育改革

数学教育面临知识传授和思维培育矛盾，传统教学重在公式记忆和机械训练，学生在解题时习惯于套用固定模式，较少从问题的条件以及求解的途径上进行考虑。这一模式可应付标准化考试，但无法支撑学生形成理性分析、统筹取舍、辩证决策的高阶思维能力。随着核心素养导向的课程改革不断深入，数学教育迫切需要一个可以统摄教学目标、教学内容、教学方法和评价方式的理论体系。最优化思想是研究在约束条件下寻找最优方案的基本理论，其将目标导向、条件约束和方案择优的思想与数学学科的内在逻辑契合。将最优化思想运用到数学教育既有益于提高课堂教学效果，又可促使学生思维方式发生根本性转变。基于此，本文主要论述最优化思想和数学教育之间的内在契合，对教学体系的优化设计以及实践操作进行系统论述，旨在以理论指导实践、实践反哺理论的方式来推动数学教育的改革。

1 最优化思想融入数学教育的理论契合

1.1 最优化理论核心教育要义

最优化理论是研究在一定约束条件或意义下选取合理方法或技术手段，使对象目标函数或系统达到总体最优的基础理论。立足数学教育场景，最优化理论的主要内涵包含三个内容，一是约束条件的识别和界定，数学教学课时总量是固定的，学生认知水平高低不一，教材内容的逻辑顺序不能随意改变，课堂互动深浅存在取舍。教师必须在承认约束的基础上寻求可行解决办法。二是目标函数的确定和排序，数学教育总目标是培养学生数学核心素养，但在具体的某一节课、某一个单元中，优先目标需根据学情和教学进度进行动态调整。例如，函数概念的引入阶段需重视理解定义而不是急于掌握计算能力，极值求解的复习阶段则重在提高运算的速度和准确性，教师应根据目标的先后顺序及急迫程度来确定改进的方向。三是方案的选择以及改进，面对同样的教学内容，教材给出了例题、习题、探究活动等教学资源供教师选择，教师需根据班级整体学情挑选合适的教学方案，实施后还需结合学生反馈来调整后续教学策略。因此，最优化理论不是一种脱离课堂的抽象概念，而是能够直接帮助教师日常进行教学决策的思维工具。

1.2 最优化思想赋能数学教育的育人价值

将最优化思想渗透到数学教育的全过程可促使学生养成理性思考、统筹安排、辩证决断的数学思维，具有重要育人价值。在思维方式上，传统的数学解题训练容易使学生养成“条件反射式”的解题习惯，即看到一类题目就套用一种公式，很少去追问为什么这种方法比另一种方法更好。最优化思想将每一道题目当作一个“优化问题”，题干中的已知条件是约束条件，求解目标是目标函数，解题过程就是从各种可行途径中找到满足约束同时使目标最优。学生需自主衡量不同的计算方法所耗时长、错误率以及可行范围，进而挑选符合要求的方案。这一过程可有效打破思维定式，培养学生批判性思维和元认知能力。最优化思想还有助于培养学生数学素养，数学核心素养的逻辑推理需要学生有条理地分析问题结构，数学建模需要学生能在复杂的情境中找出变量和约束，数据分析则需要学生可以从众多的信息中提炼出重要的参数。最优化思想的运用可同时调动这三个素养。学生在反复的约束、目标、择优训练中逐步形成理性性格，在面对现实困境的时不再急于下结论，而是会先整理出条件，确定目标，比较方案，最后作出决定。这样的思维习惯会渗透到学生日常生活，具有正向迁移的作用。

2 最优化思想导向下数学教育教学体系优化设计

2.1 立足学情约束优选数学课堂教学模式

数学教育中，教师需按照最优化思想根据班级整体学情、课堂课时长短、学生课堂参与程度等约束条件来选择合适的教学方法。以高等数学教学为例，高数知识点具有很强的抽象性以及前后逻辑联系，不同知识点需要使用不同的最佳授课模式。对于一元函数极值、函数单调性判定等内容，教师可采取精讲教学方式，重点放在公式推导和主要解题步骤上，最大程度上利用课时来加强学生理论根基；对于多元函数条件极值、拉格朗日乘数法等难点内容，采用小组合作探究的方式，让学生自行整理题干约束条件，比较各种解题方法的运算复杂程度；对于高数在工程成本、空间距离求解中出现的最优化应用题，可采用案例教学的方式，联系工科专业学情创设真实的应用情境。最优化思想动态匹配教法能够有效解决高数课堂枯燥难懂的问题，显著提高课堂教学效率以及学生知识吸收内化效果。

2.2 遵循整体最优原则完善数学教学评价体系

教师应打破用期末考试卷面分数作为唯一标准的单一评价方式，以学生高数综合学习能力最优发展为目标，建立符合高数课程特点的多元一体化评价体系。以高等数学教学为例，教学评价分为知识掌握、方法运用、思维品质三个层次，其中，知识掌握层考察学生对最优化有关定理、公式记忆和理解程度，以选择题、填空题来测评；方法运用层考察学生在给定约束下求最优值的能力，采用常规计算题、证明题来测评；思维品质层考察学生对不同的解法进行比较、优化、反思的能力，通过开放性问题、探究任务来测评。三个层次由浅入深地依次构成一个递进过程。

除了期末的卷面考试之外，数学教学还应重视过程性评价。教师可进行课堂解法优化展示，给出一道多解题，学生自行准备并上台展示挑选出的最佳解法，说明选择理由，其余同学提出质疑并补充。而后，进行小组研讨汇报，每组领取一道有实际背景的最优化应用题，在课后查阅资料并设计方案，形成书面报告在课堂上做口头汇报。汇报的重点是识别约束条件、建立目标函数以及比较方案，最后对结论的合理性进行论证。另外，教师需每周布置一道可以使用至少三种方法求解的题目，要求学生写出所有的可行解法，从计算效率、普适性、理解难度三个方面进行比较分析，培养学生最优化思想。各学期、各专业的课程可依据教学重点的调整而调整评价体系的比重，强化思维训练阶段可提高过程性评价所占比例，基础巩固阶段可提高终结性评价所占比例。以整体最优为导向的评价体系设计使学生数学学习的过程不是被动等待考试结果的过程，而是主动地对各种途径进行比较、反思、优化的过程。

3 最优化思想引领数学教育改革的实践实施路径

3.1 开展针对性教研提升教师优化教学能力

学校应依托校本教研活动对数学教师展开最优化教学专项培训，促使教师深入领会最优化理论内涵并掌握理论与数学课堂融合的实践办法，应邀请高校数学教育专家或者教研员举办专题讲座，系统阐述最优化理论的核心思想以及如何迁移至数学教育。培训内容侧重于案例分析，通过展示同一个课时三种不同的教学设计，引导教师观察、比较不同的方案在相同的约束条件下所产生的教学效果不同之处，让教师直观体验从约束识别、目标排序到方案选择的全过程。每位教师完成培训后需撰写一篇教学反思，反思自己日常教学中没有充分注意到的约束条件以及可进一步改进的地方，将理论转化为个人教学理论认识。

年级备课组每学年学期末开展教学方案优化工作的交流会总结工作成果，改进工作方法。每位教师分别提交一份原始的教学设计；备课组集体讨论，找出该单元所面对的主要制约因素，如学生基础参差不齐、课时有限、实验器材短缺等；参照约束条件，所有教师应给出至少三个备选方案；经由模拟课堂或者说课展示来评判各个方案的可行程度、投入产出情况以及风险所在；最后挑选出一套当下条件下最合适的方案，在后续实际教学过程中加以检验。方案实施效果应记录整理成册，形成校本化教学方案优化案例库，供以后备课循环使用。最后，学校教学管理部门对教师教学方案优化情况实行学期末评价，评价内容为课时利用情况、学生课堂参与情况、作业分层开放程度、学生解题策略多样化的程度。评估结果作为教师专业发展的档案资料以及评优评先的依据。优化效果明显的教师参加全校教研会，交流教学经验，形成示范作用，从而为数学教育改革提供师资保障。

3.2 聚焦解题教学培养学生最优决策思维

教师需引导学生在日常数学习题解答中使用多种解题思路，比较不同的解法运算时间及步骤简繁，选出最优解题方法。该路径的实施要求教师完成三类任务的设计与执行。第一类是一题多解对比分析，即教师每周选择一个典型题目，在课堂上留出十分钟让学生独立写出所有的解法，不限制方法的种类。之后组织小组讨论，每个小组把本组所有的解法汇总后形成比较表，比较维度有解题时长预估、步骤数量、涉及知识点数量、易错点以及同类变形题适用性。小组成员作汇报，全班投票决定最优的方法及原因。教师在此过程中并不提前给出标准答案，而只是让学生自己去建构评价标准。经过多次训练，学生将能够逐渐形成面对每一个题目都先思考“有哪几种解法”，然后再验证“用哪种方法最好”的思维习惯。

第二类为约束条件应用题，教师需从学生生活实际提取数学问题。例如，可针对班级组织研学旅行场景，在给定预算、车辆座位数、景点开放时间的限制下要求学生规划一条既包含主要景点又不会造成过度疲劳的路线。或立足学校食堂场景，安排一周的菜单，要求学生在保证营养达标、成本控制、学生口味喜好等多种条件前提下，做出最佳搭配方案。此类问题开放性较高，不设唯一的正确答案，旨在训练学生能否正确地识别出所有的约束条件，建立合适的优化目标，比较各个方案的优劣。教师评价重点是学生分析过程是否具有逻辑性、是否考虑到所有的约束条件。

第三类是自主出题、互评的任务。在期末复习阶段，让学生以“最优决策”为题，自己设计一道应用题，题目中至少设置三个约束条件，并给出自己的解答和方案比较过程。学生之间相互作答并互相评议，对题目设计的约束条件是否完备、评分标准是否合理、解法比较是否全面进行评价。上述三种任务依次展开，从而引导学生养成数学最优化决策思维习惯。

结语

最优化思想给数学教育改革赋予了新方法，立足学情约束动态选择教学模式，创建多元一体化的评价体系，开展有针对性的教师教研和解题思维训练，数学教育可以找到知识传授和素养培育之间的最佳平衡点，提高学生数学能力与素养。未来，应继续推进最优化思想同信息技术手段的融合，教师可利用智能教学平台开展方案比选和效果追踪，开发更多的最优化教学案例库，使最优化理念在更多学科中得以迁移和应用。

【林穗华系广西民族师范学院教授；本文系2025年广西教育科学“十四五”规划课题《民族地区高校学生数字化学习能力实证研究》（编号：2025C636）】